Сослан Джанаев начал заниматься футболом в школе владикавказского «Спартака». В 1996 году переехал в Москву и поступил в СДЮШОР клуба ЦСКА (Москва), окончив которую не сумел пробиться в основной состав и выступал лишь за дубль клуба, проведя 6 матчей, в которых пропустил 6 мячей. В 2007 году перешёл в клуб «КАМАЗ» из Набережных Чалнов, за команду в первом дивизионе чемпионата России провёл 28 матчей, в которых пропустил 17 мячей, в Кубке России — 2 матча и 3 пропущенных мяча. В 2008 году перешёл в московский «Спартак», в котором дебютировал в Кубке России 6 августа против брянского «Динамо», проведя 2 матча в которых пропустил 3 мяча, в основном же играл за дублирующий состав «красно-белых» (18 матчей — 17 пропущенных мячей), с которым стал чемпионом России среди дублёров. В сезоне 2009 впервые вышел на поле в Премьер-Лиге 18 апреля 2009 года в матче с клубом «Терек» и отстоял на ноль, эта же игра стала первой для Валерия Карпина на посту главного тренера «Спартака». После этого Джанаев стал основным вратарём команды, вытеснив из состава Стипе Плетикосу. 7 ноября 2009 года «Спартак», борющийся за чемпионство, из-за ошибки Джанаева, проиграл матч «Крыльям Советов». Главный тренер команды, Валерий Карпин, сказал, что произошёл «несчастный случай». В следующей игре, с ЦСКА, Джанаев вновь допустил ошибку, пытаясь поймать мяч и выронив его в ворота, из-за чего его команда проиграла. После игры Джанаев извинился перед партнёрами по команде и болельщиками клуба. Из-за этих двух ошибок Джанаева стали обвинять в том, что он не выиграл конкуренцию у Стипе Плетикосы, а занял место в ворота из-за наличия у него российского паспорта. Несмотря на это, тренерский штаб выразил доверие Джанаеву.
В чемпионате России 2010 Джанаев вновь занял позицию основного вратаря «Спартака». Во втором туре, в игре с питерским «Зенитом» (1:1) Джанаев, по мнению многих, стал лучшим игроком встречи, отбив несколько очень сложных мячей. 4 апреля 2010 года в игре с «Томью» Джанаев совершил ошибку в результате которой был назначен пенальти; встреча завершилась вничью 2:2[. 10 мая в игре с «Аланией» Джанаев пропустил 5 голов. 21 июля в матче с «Сибирью» Джанаев, в предыдущей игре допустивший результативную ошибку, остался в запасе, а его место в воротах «красно-белых» занял Сергей Песьяков.
27 августа решился вопрос о переходе Джанаева в «Терек» в обмен на вратаря Андрея Диканя. Сослан будет выступать в «Тереке» 2,5 года на правах аренды.
23 октября Джанаев дебютировал в составе «Терека» в игре с «Сатурном»; игра завершилась победой «Сатурна» со счётом 1:0.
20 декабря 2012 года был отдан в аренду в «Аланию» с правом последующего выкупа трансфера.
2 сентября 2013 года вернулся в московский клуб и был заявлен за «Спартак-2» под 27-м номером.
Зимой 2014 года покинул «Спартак» и начал тренироваться в составе «Ростова».
2 июля 2014 года подписал трехлетний контракт с «Ростовом». По настоящее время является основным голкипером ростовской команды. Прошлый сезон получился ударным для Джанаева, своей уверенной игрой он вновь привлёк внимание футбольной общественности и по праву заслужил вызов в сборную. Стоит отметить, что в сентябре 2009 года он уже получал вызов в сборную на матчи против Германии и Азербайджана, но так и не появился на поле, оставшись в запасе.
По состоянию на 1 мая 2016 является третьим в списке вратарей чемпионатов России с сухими сериями — 775 минут. В 2016 году признан вратарём года.
